Em 1873 Cantou provou que o conjunto dos racionais é contável, isto é que pode ser posto em correspondência um para um com os números naturais, mostrou também que os números algébricos, números que são raízes de equação polinomiais com coeficientes inteiro também são contáveis. No entanto sua tentativa para provar que os reais eram contáveis se mostrou um pouco mais difícil, provando em dezembro de 1873 que os números reais não eram contáveis e publicou em um artigo em 1874.
Liouville (1809 - 1882) estabeleceu em 1851 que os números transcendentes existiam, um irracional que não é uma raiz de qualquer equação polinomial com coeficientes inteiros. Vinte anos depois Cantor mostrou que num certo sentido, quase todos os números são transcendentes, provando em tão que os números reais não são contáveis enquanto já tinha provado que os números algébricos eram contáveis. Em 1897, Cantor descobriu vários paradoxos suscitados pela Teoria dos conjuntos. Foi ele que utilizou pela primeira vez o símbolo IR para representar o conjunto dos números reais. A teoria ganhou universal aceitação por volta de 1908, transformando-se então em alicerce indispensável para a análise. A teoria dos conjuntos torna-se tão popular depois disso que, em 1920, foi criado um periódico na Polania institulado “Fundamenta Mathematicae” (Fundamentos de Matemática), com o objetivo de explorar as idéias de Cantor.